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<title>Logarithmierte Rendite</title>
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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Logarithmierte Rendite</span></h1>
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<div id="mw-content-text" class="mw-body-content mw-content-ltr" lang="de" dir="ltr"><div class="mw-content-ltr mw-parser-output" lang="de" dir="ltr"><p>Die <b>logarithmierte Rendite</b> (auch <b>stetige Rendite</b> genannt) ist eine <a href="Finanzmathematik" title="Finanzmathematik">finanzmathematische</a> Größe, die vor allem im <a href="Risikomanagement" title="Risikomanagement">Risikomanagement</a> bei der Berechnung von <a href="Volatilit%C3%A4t" title="Volatilität">Volatilitäten</a> (z. B. im klassischen <a href="Black-Scholes-Modell" title="Black-Scholes-Modell">Black-Scholes-Modell</a> der <a href="Option_(Wirtschaft)" title="Option (Wirtschaft)">Optionspreisbewertung</a>) eine Rolle spielt.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Definition_und_Eigenschaften">Definition und Eigenschaften</h2></div>
<p>Ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>r</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"></span> eine <a href="Rendite" title="Rendite">Rendite</a> (also eine Verhältniszahl der Art <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {Wertzuwachs}{Ausgangskapital}}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mrow>
<mi>W</mi>
<mi>e</mi>
<mi>r</mi>
<mi>t</mi>
<mi>z</mi>
<mi>u</mi>
<mi>w</mi>
<mi>a</mi>
<mi>c</mi>
<mi>h</mi>
<mi>s</mi>
</mrow>
<mrow>
<mi>A</mi>
<mi>u</mi>
<mi>s</mi>
<mi>g</mi>
<mi>a</mi>
<mi>n</mi>
<mi>g</mi>
<mi>s</mi>
<mi>k</mi>
<mi>a</mi>
<mi>p</mi>
<mi>i</mi>
<mi>t</mi>
<mi>a</mi>
<mi>l</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {Wertzuwachs}{Ausgangskapital}}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1637b8e892497dcb66ab1b9162f9c3fb4b46a024.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.505ex; width:18.122ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle {\frac {Wertzuwachs}{Ausgangskapital}}}" loading="lazy"></span>), so ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ln(1+r)}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>ln</mi>
<mo><!-- --></mo>
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<mn>1</mn>
<mo>+</mo>
<mi>r</mi>
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</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ln(1+r)}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/baa4aaaaab86c843daf4bf666a5dddfd1420db7e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.8ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \ln(1+r)}" loading="lazy"></span> die zugehörige logarithmierte Rendite.
</p><p>Die logarithmierte Rendite ist also der natürliche Logarithmus des Verhältnisses Endkapital zu Ausgangskapital (oder allgemeiner auch Endwert zu Ausgangswert). Die logarithmierte Rendite aufeinanderfolgender Perioden kumuliert sich durch Addition.
</p><p>Bei einer erwarteten logarithmierten Rendite <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r(t,T)}">
<semantics>
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<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>r</mi>
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<mi>t</mi>
<mo>,</mo>
<mi>T</mi>
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</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r(t,T)}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/326dcf94aa8828795850213d6005ef720d1f6c17.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.368ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r(t,T)}" loading="lazy"></span> (Startzeitpunkt <i>t</i> und Zeitintervall <i>T</i>) für ein gegebenes Kapital <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K(t)}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>K</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>t</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K(t)}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2cb30f8779a3eb62b877afe661440df62733d6c3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.715ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle K(t)}" loading="lazy"></span> errechnet sich der erwartete Kapitalwert in der Folgeperiode als:
</p>
<dl><dd><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle K(t+T)=K(t)\cdot e^{r(t,T)}}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>K</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>+</mo>
<mi>T</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>K</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>t</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
<mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
<msup>
<mi>e</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mi>r</mi>
<mo stretchy="false">(</mo>
<mi>t</mi>
<mo>,</mo>
<mi>T</mi>
<mo stretchy="false">)</mo>
</mrow>
</msup>
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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle K(t+T)=K(t)\cdot e^{r(t,T)}}</annotation>
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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/896424aec2480703bf475add4d02660749aabf9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.229ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle K(t+T)=K(t)\cdot e^{r(t,T)}}" loading="lazy"></span></dd></dl>
<p>Diese Rechnung für Renditen gilt auch für beliebige <a href="Ver%C3%A4nderungsrate" class="mw-redirect" title="Veränderungsrate">Veränderungs-</a> bzw. <a href="Wachstumsrate" title="Wachstumsrate">Wachstumsraten</a>.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Hintergrund">Hintergrund</h2></div>
<p>Ein Hauptgrund für die Verwendung logarithmierter Renditen liegt darin, dass diese (im Gegensatz zu den eigentlichen Renditen) auf der gesamten Menge der reellen Zahlen definiert sind, während „normale“ (sprich: diskrete) Renditen links durch den Wert −1 bzw. einen Verlust von 100 % begrenzt sind. Dadurch kann die empirische Verteilung der Renditen zum Beispiel besser durch die <a href="Normalverteilung" title="Normalverteilung">Normalverteilung</a> approximiert werden, wobei die empirische Verteilung der Renditen jedoch üblicherweise von der Normalverteilung abweicht.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>
<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.deifin.de/thema002.htm">Berechnung Volatilität unter Nutzung logarithmierte Rendite</a></li>
<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.vwl.uni-mannheim.de/mammen/Diplom_VWL.pdf">Optionsbewertung</a> (PDF-Datei; 430 kB)</li></ul></div><!--htdig_noindex--><div><div class="zim-footer">
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